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成 绩 安徽科技学院 数学建模在足球吊门问题上的应用 实验报告 姓名：李黎 专业班级：地信 11(1) 学号：2206110113 指导老师：鲁立江 日期：2015-1-15 足球比赛中的吊门问题 一、最简单情形 1、考虑如下的因素： 球与球门的距离为 a，守门员与球门的距离为 b，球门高 h，守门员最大摸高 H，球出 脚的初速度为 v， 与水平方向的夹角为 alpha （称为初射角） ． 给定， h=2.44m， H=3.20m， v=30m/s， 2 重力加速度 g=10m/s ，针对下列几组数据分别给出能吊门成功的相应初射角范围，要求精 度在小数点后第 3 位。· a=6m，b=1m； · a=10m，b=3m； · a=20m，b=5m。
2、问题分析：
1、先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力等…，此时，球的运动轨迹是抛物线，如果 守门员不动，总有合适的角度使吊门成功。
2、这不是求一个角度值，而是求一个范围！通常的思路是把问题整理成两个方程求根 问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是求吊门成功的最大角度。
3、 有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门的情况。
3、直观分析：
1、 最简单情形，抛射体的运动轨迹为抛物线方程如下 2、借助于使用方便的数学软件，可直观地看到各种初射角对应的抛射体运动的轨迹图 形。
g y(x ) ? x tan ? ? 4、程序 1 v=30;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=6;b=1;
l=a-b;L=a*1.1;
x=0:0.01:L;
for alpha=1.5368:0.00001:1.538 [y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g);
tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) '
守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause endC:\WINDOWS\Desktop\程 5、程序 1 抛射体轨迹函数 function [y,t]=paosheti1(x,alpha,v,g) y=x*tan(alpha)-x.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2);
t=2*v*sin(alpha)/g;
xmax=v*cos(alpha)*t;
n=length(x);
for i=1:n 2v cos ? 2 2 x2 ,... if y(i)<0 xx=x(i)-xmax;
y(i)=xx*tan(alpha)-xx.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2);
end end 6、初步结果：
? 对于第一组数据，吊门成功的最小角度 1.53697（为弧度，下同） ，对应的时间大约 在 4.9281 秒，最大角度 1.53787，对应的时间是 5.0627 秒； ? 对于第二组数据，吊门成功的最小角度 1.51437，对应的时间大约在 4.1374 秒，最 大角度 1.51587，对应的时间大约在 4.2503 秒； ? 对于第三组数据，吊门成功的最小角度 1.45718，对应的时间大约在 4.4103 秒，最 大角度 1.46022，对应的时间大约是 4.531 秒。
7、初步结果分析：
? 遵循由简单到一般的建模原则，先考虑简单情形，得到初步结果，以此为基 础，发现问题、分析问题，找到求解思路，并逐步将问题一般化，甚至可以 发现逐步一般化的顺序（还是由简到繁，先将哪些方面使之更一般化，如空 气阻力、守门员移动） ； ? 结果有一定的合理性； ? 从近似计算角度分析，在允许的精度范围内，如上的“作图——观察——调 整”不失为一种求解方法； ? 相比球与守门员及与球门的距离，注意守门员移动的时间，显然守门员有足 够的时间移动，因此吊门是不会成功的！ 原因在于将问题假设得过于简单 化、理想化了！修改假设应是下一步必须考虑的。
8、小结：
? 不考虑空气阻力； ? 不考虑守门员在球运行过程中的移动； ? 球落地是完全弹性的，只考虑仅有一次触地反弹形成的吊门情况； ? 只考虑越过守门员头顶的吊门， 即出球点与守门员连成一线延伸到球门这样 一个直线方向，不考虑从守门员侧面吊门的情况； ? 将球看作是数学上的一个点； ? 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！ ? 球的质量为一个单位。
二、有空气阻力的情形之一——仅 x 方向考虑空气阻力 ? 假设只考虑 x 方向受空气阻力的影响； ? 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为 k=0.4。
? 此时，x(t)满足如下的微分方程初值问题 ?? ? kx ? ? 0 x x(0) ? 0 1、问题的解： ?(0) ? v cos ? x x(t ) ? 1 k v cos ?(1 ? e ? kt ) 2、程序 2-1：
v=30;k=0.4;g=10;h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;l=a-b;L=a*1.1;
for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.01:T;
[x,y]=paosheti2(t,alpha,v,k,g);
TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... '
守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause End 3、程序 2-2 function [x,y]=paosheti2(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2;
n=length(t);
t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=v*sin(alpha);
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
for i=1:n if t(i)>t0 tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt^2/2;
end end 4、空气阻力的情形之一的结果及分析改进（一） ? 前面结果有问题，反弹后的角度不应该是 alpha 了，应该以落地时的情况计算出新 反射角。
? 修改抛射体函数：将 paosheti2(t,alpha,v,k,g)，换成 paosheti22(t,alpha,v,k,g)。
5、程序 2-2 修改如下：
function [x,y]=paosheti22(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2;
n=length(t);
t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to the ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=v*sin(alpha);
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(vyt0/vxt0);
for i=1:n if t(i)>t0 tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt^2/2;
end end 6、空气阻力的情形之一的结果及分析改进（二） ? 针对第三组数据，计算的最小角度为 1.268，守门员移动时间为 2.7771 秒，最大角 度是 1.27，时间是 2.8101 秒； ? 结果仍有问题：反弹前后的两波高度一样； ? 解决的办法是再考虑 y 方向也有空气阻力。
三、有空气阻力的情形之二——x、y 方向均考虑空气阻力 ? 假设 x，y 两个方向均受空气阻力的影响 ； ? 假设空气阻力与速度成正比，比例系数为 k=0.4。
? 此时，x(t)仍满足同上的常微分方程初值问题 ?? ? kx ? ? 0 x x(0) ? 0 ? ? ? ky ? ? mg ? 0 y ?(0) ? v cos ? x ? y(t)满足如下的常微分方程初值问题 y(0) ? 0 1、问题的解： ?(0) ? v sin ? y 1 y(t ) ? 2、有空气阻力的情形之二 程序 3-1：
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;
l=a-b;L=a*1.1;
for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.01:T;
[x,y]=paosheti3(t,alpha,v,k,g);
TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on, plot(x,y),grid, hold off k (v sin ? ? mg mg )(1 ? e ? kt ) ? t k k title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... '
守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause end 程序 3-2 function [x,y]=paosheti3(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t))/k-g*t/k;
n=length(t);
t00=2.;
tt0(1)=t00;
tb=1;
ii=1;
while(abs(tb)>1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g);
tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);
ii=ii+1;
if(ii>20)error('numb. of iter. is 30 times');
end end t0=tt0(ii);
y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0))/k-g*t0/k;
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k;
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0));
for i=1:n if t(i)>t0% tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt))/k-g*tt/k;
end end 3、空气阻力情形之二的结果分析及改进：
? 针对第三组数据，计算的最小角度为 1.239，守门员移动时间为 2.3797 秒，最大角 度是 1.248，时间是 2.4889 秒； ? 有必要考虑守门员可以移动的情形。
四、守门员可以移动的情形 ? 假设守门员只沿球运行的方向移动； ? 球一出脚守门员即判断好并移动； ? 守门员的移动速度记为 u，其大小是吊门能否成功的另一关键因素。
1、问题分析：
? 球的运动轨迹与上一种情况完全一致，程序 2-2-2 不必改。
? 单独加上守门员的移动显示，二者叠加，可得守门员可移动情形下吊门成功与否的 直观显示。
2、程序 4-1：
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b0=5;u0=2;
l0=a-b0;L=a*1.1;
for alpha=1.25:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.1:T;
[x,y]=paosheti4(t,alpha,v,k,g);
nn=length(t);
for j=1:nn xx=x(1:j);
yy=y(1:j);
ll0=l0+u0*t(j);
if ll0>a l(j)=a;
else l(j)=ll0;
end TH=-log(1-l(j)*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(xx,yy,'bo',l(j),H,'r+',a,h,'ro'),grid,pause end %hold off title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,... '球运行的时间=',num2str(TH)]),pause end 3、程序 4-2：
function [x,y]=paosheti4(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t))/k-g*t/k;
n=length(t);
t00=2.;
tt0(1)=t00;
tb=1;
ii=1;
while(abs(tb)>1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g);
tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);
ii=ii+1;
if(ii>20)error('numb. of iter. is 30 times');
end end t0=tt0(ii);
y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0))/k-g*t0/k;
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k;
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0));
for i=1:n if t(i)>t0 tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt))/k-g*tt/k;
end end 4、结果：
? 针对第三组数据， 且守门员移动速度为， 计算的能使球进入球门的最小角度为 1.239， 球运行的时间为 4.2682 秒，能使球进入球门的最大角度是 1.248，球运行时间是 4.5914 秒 ； ? 不难看出，如果攻门一方球一出脚，守门员就向球门方向移动的话，吊门是不可能 成功的，除非守门员移动的速度很慢 ，如，u<1.1m/s； ? 当然， 实际比赛中， 守门员的移动并不是对方球一出脚就开始的， 而是有一个判断、 反应的滞后时间！也就是说，即使守门员移动的快一些，还是有可能吊门成功的！
数学建模实验报告 实验四 一、 实验目的 1、 通过具体的题目实例, 使学生理解数学建模的基本思想和方法, 掌握数学建模分析和解决的基本过程. 二 实验内容 有r个人在一楼进入...
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