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导数在函数中的应用探讨 摘要：导数（导函数的简称）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终联系着函数的思想， 涉及数学中多种思想和方法，同时又是衔接初、高等数学的桥梁，它的出现为解决一些数学 问题提供了新的视野。本文主要就导数的有关知识在函数中的应用进行了探讨。 关键字：导数 ；函数 ；应用 Discuss the application of derivative in the function Abstract：Derivative (the abbreviation of derived function ) is a special function,what it found and defined are always associated with the idea of function,which involved in a variety of ideas and methods about mathematics. What's more, it is the bridge linking the junior mathematics and senior mathematics,providing a new view for solving mathematical problems.This paper mainly apply the relevant knowledge in the function's derivative was discussed. Keywords：Derivative;Function;apply 目录 1 引言 ?????????????????????????????（3） 2 导数的基础知识 ????????????????????????（3） 2.1 导数的定义 ?????????????????????????（3） 2.1.1 一阶导数定义 ???????????????????????（3） 2.1.2 高阶导数定义 ???????????????????????（4） 2.2 导数的几何意义 ???????????????????????（4） 2.3 导数的求法 ?????????????????????????（4） 2.3.1 基本求导法则 ???????????????????????（4） 2.3.2 基本初等函数导数公式 ???????????????????（4） 2.3.3 莱布尼茨公式 ???????????????????????（5） 3 导数在解决函数问题中的应用 ??????????????????（5） 3.1 导数在函数单调性中的应用 ??????????????????（5） 3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 ????????????（5） 3.1.2 应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 ?????????（6） 3.2 导数在函数图象中的应用 ???????????????????（8） 3.3 导数在函数中求极值与最值中的应用 ??????????????（9） 3.3.1 导数在求函数极值中的应用 ?????????????????（9） 3.3.2 导数在求函数最值中的应用 ????????????????? （10） 3.4 导数在函数中凹凸性与拐点中的应用 ?????????????? （11） 3.5 导数在函数中求参数的应用 ?????????????????? （12） 3.5.1 求函数解析式 ??????????????????????? （12） 3.5.2 求参数的取值范围 ????????????????????? （13） 4 导数的产生和发展 ??????????????????????? （14） 5 导数在其他方面的应用 ????????????????????? （14） 6 总结 ????????????????????????????? （14） 致谢 ?????????????????????????????? （15） 参考文献 ???????????????????????????? （15） 3 导数在函数中的应用探讨 1 引言 为了反映现实世界中变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的不 断深化研究， 产生了微积分。从微积分称为一门学科来说， 是在十七世纪下半叶， 微积分是数学史上重要的转折点， 它的出现使得解决很多数学问题有了更加广阔 的视。微积分的知识和方法在数学中的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，而 导数是微积分的核心概念之一。它的产生和发展蕴含了几代数学家的心血结晶， 具有浓厚的时代背景和历史意义。恩格斯说过：
“在一切理论成就中，未必再有 什么像 17 世纪下半叶微积分的发明那样被看作是人类精神的最高胜利了，如果 在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩，那就是这里。
”从而可以看 出导数在人类发展史上的地位。
导数在数学问题中起到承上启下的作用：
承上是它的加入为高中数学注入了 新的活力， 使数学解题方法有了新的突破，它的应用潜移默化改变了学习者的思 维习惯； 启下是它的加入完善了高中阶段教学内容，为接下来进一步学习高等数 学和其他自然科学作了必要的铺垫，同时在中学数学和大学数学之间起衔接作 用。
导数是分析函数变化形态研究函数性质的一种重要手段。运用导数解决函数 问题不需要很高的思维能力，强调了通法而淡化了技巧，在分析函数的图象、单 调性、极值与最值等方面，可使复杂问题简单化、系统化。本文从多种函数例题 入手，由易到难，应用导数解题，突出导数在函数解题中的作用和优势，感悟这 个过程中蕴含的数学思想和数学形式化的美丽。 2 导数的基础知识 2.1 导数的定义 2.1.1 一阶导数定义 定义 1 设函数 y ? f ( x) 在点 x 0 的某邻域内有定义，若极限 lim ?x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0 (1) 存在，则称函数 f 在点 x 0 处可导，并称该极限为函数 f 在点 x 0 处的导数， 记作 f '
( x0 ) 。
令 x ? x0 ? ?x ， ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 。则(1)式可改写为 f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim 0 ? f '
( x0 ) ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x (2) 4 所以，导数是函数增量 ?y 与自变量增量 ?x 之比 ?y 的极限，这个增量比称 ?x 为函数关于自变量的平均变化率 （又称差商） ， 而导数 f '
( x0 ) 则为 f 在 x 0 处关于 x 的变化率[1]。 2.1.2 高阶导数定义 定义 1 若函数 f 的导函数 f '
在点 x0 可导， 则称 f '
在点 x0 的导数为 f 在点 x0 的二阶导数，记作 f ''
( x 0 ) ，即 lim x ? x0 f '
( x) ? f '
( x0 ) ? f ''
( x0 ) x ? x0 (3） 同时称 f 在点 x0 为二阶可导。 [1] 一般地， 可由 f 的 n ? 1 阶导函数定义 f 的 n 阶导函数 （或简称 n 阶导数） 。 2.2 导数的几何意义 函数 f 在点 x 0 处的导数 f '
( x0 ) 在几何上表 示为：函数 y ? f ( x) 在点 A ( x0 , y0 ) 处的导数 y f ( x) A l x f '
( x0 ) 就是该点处切线 l 的斜率。 图1 2.3 导数的求法 2.3.1 基本求导法则[1] ① (u ? v)'
? u '
? v'
② (uv)'
? uv'
? u 'v, (cu)'
? cu' u u 'v ? uv'
1 '
v'
, ( ) ? ? ③ ( )'
? v v2 v v2 （4） （ c 为常数） （5） （6） （7） dy 1 ? dx dy dx dy dy du ? ? ⑤复合函数导数 dx du dx 2.3.2 基本初等函数导数公式（部分)[1] ④反函数导数 ① (c ) '
? 0 （ c 为常数） （8） （9） 5 ② ( x a )'
? axa?1 （ a 为任意实数） ③ (sin x)'
? cos x, (cosx)'
? ? sin x ④ (tanx)'
? sec2 x, (cot x)'
? ? csc2 x （10） （11） （12） （13） （14） （15） ( s ex c)'
? s e c xt a n x, ( c sx c)'
? ? c s c xc o x t ⑤ (a x )'
? a x ln a, (e x )'
? e x 1 1 , (ln x) '
? x ln a x [1] 2.3.3 莱布尼茨公式 ⑥ (log a x) '
? 1 ( n?1) (1) 2 ( n ? 2) 2 k ( n ?k ) ( k ) (uv)n ? u (n)v(0) ? Cn u v ? Cn u v ??? Cn u v n k ( n?k ) k ? ? ? u ( 0) v ( n ) ? ? Cn u v k ?0 （16） 3 导数在解决函数问题中的应用 3.1 导数在函数单调性中的应用 函数的单调性是函数最基本的性质之一， 描述了某个区间内函数的增减性变 化规律， 是研究函数必须要掌握的基本知识。用函数单调性本身的定义来处理单 调性的问题具有很强的技巧性，需要灵活的思维能力，难度较大；而应用导数来 解决单调性的问题则非常系统化，突出了通法，简单易懂。下面应用导数这一工 具来处理有关这方面的问题。
3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 观察下面各个函数的图象，思考函数的单调性与其导数的正负之间的关系 y y y y x o o x o x x o 图5 图2 图3 图4 图 2 函数 y ? x （ x ? R ） ，其导数 y '
恒等于 1 并且大于 0。观察原函数图像 可以发现其在定义域 R 内单调递增，并且斜率是恒定的。
图 3 函数 y ? x 2 （ x ? R ） ，其导数为 y '
? 2 x ，当 x ? 0 时，导函数 y '
? 2 x 恒 大于 0，当 x ? 0 时，导数 y '
? 2 x 等于 0，当 x ? 0 时，导数 y '
? 2 x 恒小于 0。观 察原函数图像可以发现，当 x ? 0 时，函数单调递增，当 x ? 0 时，函数单调递减。 6 图 4 函数 y ? 1 1 ( x ? 0) ，其导数为 y '
? ? 2 ( x ? 0) ，当 x ? 0 时，导数 y '
恒小 x x 于 0.观察原函数图象可以发现其定义域 (??,0) ? (0,??) 上都是单调递减的。
图 5 函数 y ? 2 ， 其导数为 y '
? 0 。观察原函数图象可以发现在其定义域内函 数值是不变的。
综上所述，我们可以总结出：
若函数 y ? f ( x) 在区间[ a , b ]内可导 ①如果 ?x ? (a, b), f '
( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内单调递增； ②如果 ?x ? (a, b), f '
( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内值不变； ③如果 ?x ? (a, b), f '
( x) ? 0 ，那么函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内单调递减。
3.1.2 应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 1 例 1：判断函数 y ? x 3 ? ? 2 的单调性和单调区间 x 分析：
本题可以应用函数单调性本身的定义来解答， 这能更容易反应出本质， 只是利用这种方法计算繁琐， 在考试中非常不适用； 也可以应用导数的方法解答， 这样简单易懂，只需解不等式即可。
1 解：∵函数为 y ? x 3 ? ? 2 ，其定义域为 (??,0) ? (0,??) x 1 ∴其导数为 y '
? 3 x 2 ? 2 x 1 ∵在定义域 (??,0) ? (0,??) 内， 3 x 2 与 2 都是恒大于 0 的式子 x 1 ∴导数 y '
? 3 x 2 ? 2 也恒大于 0 x 1 ∴在定义域 (??,0) ? (0,??) 内，函数 y ? x 3 ? ? 2 都是单调递增的，都 x 是单调递增区间。
例 2：证明函数 f ( x) ? x ? 4 在（2,4）上是减函数。
( x ? 2) 2 分析：这道题同样是应用导数方法解答比较简单快捷，只需求出其导数 f '
( x) ? 1 ? 8 在（2,4）恒小于 0 即可,而如果用定义法则需设再设 x1 , x2 ，这 ( x ? 2)3 样反而增加了计算难度。
证明：∵函数为 f ( x) ? x ? 4 ( x ? 2) 2 7 ∴导数为 f '
( x) ? 1 ? 8 ( x ? 2)3 且当 x ? (2,4) 时， 0 ? ( x ? 2)3 ? 8 ， ∴ 8 ?1 ( x ? 2) 3 8 ?0 ( x ? 2) 3 ∴1 ? ∴ f '
( x) ? 0 ∴函数 f ( x) ? x ? 4 在（2,4）上是减函数。
( x ? 2) 2 例 3：若 f ( x) ? ax3 ? x 有三个单调区间，求 a 的取值范围和函数 f ( x) 的单调 区间。
分析：在导数出现之前，处理函数单调性问题时往往用的就是定义法，而应 用定义法解决这道题的难度就像“母猪上树一样” 。但是出现了导数之后，可以 根据题目的导数是个一元二次函数， 则只需讨论一元二次函数与 x 轴有无交点即 可。所以像这样的题目能更加突出导数是处理函数单调性的重要手段。
解：依题可得 f '
( x) ? 3ax2 ? 1 ( x ? R ) ， 当 a ? 0 时，对于任意 x 都有 f '
( x) ? 0 ，即 f ( x) 为在 R 上的增函数， 不符合题意。
当 a ? 0 时， f '
( x) 为一个开口向下的一元二次函数， f '
( x) 的值先小 于 0，再大于 0，最后小于 0。即 f ( x) 有三个单调区间，符合题意。
令 f '
( x) ? 0 ，解得：
x1 ? 3a 3a ， x2 ? ? 3a 3a 所 以 a 的 取 值 范 围 为 (??,0) ， 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 ? 3a 3a ? 3a 3a ? ? ,单调减区间为 (??, ,? ) ? (? ,??) 。
3a 3a ? 3a 3a ? ? ? 通过以上例题可以总结出应用导数处理函数单调性问题的一般步骤为： ①确定函数 f ( x) 的定义域； ②求导数 f '
( x) ； 8 ③在函数 f ( x) 的定义域内解不等式 f '
? 0 或 f '
? 0 。
④得出结果 注意：若函数的解析式中含有未知数系数时，要进行分类讨论。
导数值为 0 的点不一定是单调区间的分界点，需要检验。
求函数单调区间忽视定义域而产生的错误。
我们可以发现在处理复杂的函数的单调性问题时， 应用导数的方法和应用单 调性本身的定义来解决问题时，前者过程简单，解题效率的优势更加明显，而后 者过程繁琐，容易出错。
3.2 导数在函数图象中的应用 例 4：设函数 f ( x) 在定义域内可导，其导数 y ? f '
( x) 的图象如图 5 所示，则 原函数图象可能是：
（ ） A B C D 图6 解：当 x <0 时，导数 y ? f '
( x) 在对应的区间内恒大于 0，所以 f ( x) 为增函 数；当 x >0 时，导数 y ? f '
( x) 在对应的区间内是先小于 0，后大于 0，然后再小 于 0，最后大于 0，所以 f ( x) 在对应区间内是按照减增减增走向的图象。综上所 述，可知 f ( x) 的图象是 A。
例 5：若函数 y ? f ( x) 在 R 上连续并可导，其导数 y '
? f '
( x) 是奇函数，且 f '
(0) ? 0 ， 则其函数图象可能是：
y y x o B y x o C y x o D x o A 解：因为其导数 y '
? f '
( x) 是奇函数 所以有 f '
( x) ? ? f '
(? x) ，即 ? f '
( x)dx ? ? ? f '
(? x)dx 所以 f ( x) ? C1 ? f (? x) ? C2 当 x ? 0 时，由（1）式可得 f (0) ? C1 ? f (?0) ? C2 9 （1） 所以 C1 ? C2 所以化简（1）式可得 f ( x) ? f (? x) ，即 f ( x) 是偶函数。
综上所述，可知 f ( x) 的图象可能是 B。
图象能直观的反应函数的变化情况，简单明了的表示出函数的某些性质，而 导数则可以一定程度上表示函数的变化快慢，并与函数某些性质紧密联系。在不 知道函数本身的表达式时， 且知道其导数特点时，应用导数与函数的联系就可以 很快处理函数图像的特点。
3.3 导数在函数中求极值与最值的应用 在函数中由于自变量的改变会使得因变量的值存在变化， 在一段递增的区间 和另一段递减的区间之间都会存在一个转折点， 而这些点在研究函数变化规律上 有着关键性作用。
3.3.1 导数在求函数极值中的应用 极值的概念：函数 f ( x) 在某区间 ? 内可导，并且存在点 x ? x0 ( x0 ?? ) ，且 f '
( x0 ) ? 0 ，那么：若在 x ? x0 的左边导数 f '
( x) 的值为正，右边为负，则 f ( x0 ) 为 在区间 ? 内的极大值；若在 x ? x0 的左边导数 f '
( x) 的值为负，右边内为正，则 f ( x0 ) 为在区间 ? 内的极小值。 例 6：求函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 在区间 ?? 3,3? 上的极值。
分析：首先要求出导数 f '
( x) ，然后列出表格根据极值的概念进行讨论。
解：依题意可得 f '
( x) ? 3x 2 ? 6 x ，令 f '
( x) ? 0 ， 解得：
x1 ? 0, x2 ? 2 ，所以可以列出表格： x f ( x) f ( x) ' ?? 3,0? + 递增 0 0 -9 ?0,2? — 递减 2 0 -13 ?2,3? + 递增 根据表格可得：在区间 ?? 3,3? 内，当 x ? 0 时函数取得极大值 f (0) ? ?9 ， 当 x ? 2 时函数取得极小值 f (2) ? ?13 。
注意：如果 f '
( x0 ) ? 0 ，若 x 0 左右边 f '
( x) 的符号不变，那么 f ( x) 不是极 值点。
例 7：求函数 f ( x) ? ( x 2 ?1)3 ? 1 的极值。
分析：对于这样的高次函数，尽量不要去拆项，以免加大计算量。 10 解：依题意可得 f '
( x) ? 6x( x 2 ?1)2 ，令 f '
( x) ? 0 ， 解方程得 ：
x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1，所以有： x f ( x) f ( x) ' ?? ?,?1? — 递减 ?1 ??1,0? 0 ?0,1? 1 0 1 — 递减 0 0 + 递增 0 1 ?1,??? + 递增 所以当 x ? 0 处取得极小值 f (0) ? 0 ，在 x ? ?1 和 x ? 1 处无极值。
3.3.2 导数在求函数最值中的应用 在现实生活中，不可避免的存在比较，就会出现出现谁大谁小的情况，反映 到函数里则出现了最大值和最小值的概念。若一个函数（排除常数函数）在区间 ? 上连续，必然会出现最大值和最小值。 ? 3 1? 例 8：求函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 在区间 ?? , ? 上的最大值和最小。
? 4 4? 解：要使函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 有意义，即 2 x ? 3 ? 0 恒成立， ? 3 ? 所以函数 f ( x) 的定义域为 ? ? ,??? 。
? 2 ? 依题意可得：
f '
( x) ? 2 ? 2x 2x ? 3 1 另 f '
( x) ? 0 ，可解得 x1 ? ?1, x2 ? ? ，所以 2 x 3 1? 1 ? ? ? ?1 ? , ?1 ? 1,? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2? ? 2 ? 1 ? ? ? ,?? ? ? 2 ? f '
( x) + 递增 0 — 递减 0 + 递增 f ( x) 3 ? ? 1 ? 根据表格可以看出：
f ( x) 的单调增区间为 ? ? ? ,?1? 与 ? ? ,?? ? ，单调减 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 3 1? 1? 区间为 ? ? ? 1,? ? ， 所 以 在 区 间 ?? , ? 的 最 小 值 即 当 x ? ? 时 取 得 ， 为 2 2? ? 4 4? ? 1 1 3 1 f (? ) ? ln 2 ? ，最大值则需要比较当 x ? ? 与 x ? 的函数值大小。
2 4 4 4 3 3 3 2 3 9 因为 f (? ) ? ln( 2 ? ? ? 3) ? (? ) ? ln ? 4 4 4 2 16 1 1 1 7 1 f ( ) ? ln( 2 ? ? 3) ? ( ) 2 ? ln ? 4 4 4 2 16 11 3 1 3 9 7 1 1 49 且 f (? ) ? f ( ) ? ln ? ? ln ? ? (1 ? ln ) ? 0 4 4 2 16 2 16 2 9 1 7 1 1 所以最大值为当 x ? 取得，为 f ( ) ? ln ? 。
4 2 16 4 这道题的关键点在于应用导数的时候不能忽视函数的定义域问题和对数大小比 较的灵活运用上。 要找出区间 ? 上最大值和最小值， 若用传统的方法则需要算出每一个函数值 再进行比较， 当问题里出现复杂的函数的时候，花费的时间之久并不是所有人都 能承受的；而应用导数的方法则根据极值的特点，利用区间 ? 上的极值与区间 ? 的端点值比较大小即可求出。
由此可见导数在处理函数最值问题可以使得计算量 简化，过程程序化。
通过以上例题得出应用导数求函数极值与最值的一般步骤：
①求导数 f '
( x) 的表达式 ②令 f '
( x) ? 0 ，解方程 ③检验 f '
( x) 在 f '
( x) ? 0 的根左右两边的符号 ④根据极值或最值的概念得出结论 函数的极值与最值都是函数性态的重要特征，但是它们却略有不同，极值反 映的部分性态，极值只与在其某邻域附近的函数值比较，远离该点则不予考虑， 可能会出现极大值比极小值小的情况；而最值反映的是整体性态，需要与所给区 间内所有函数值进行比较，最大值一定比最小值大。
3.4 导数在函数中凹凸性与拐点中的应用 研究函数变化规律时， 了解函数的单调性对其有重要作用，但是不能完全显 现出其变化规律。
有些函数虽然一直单调递增或递减， 但是却仍然有不同的弯曲， 这时考虑函数的凹凸性就有必要了。
定理 6.14 设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸（凹）函数的 充要条件是 f ''
( x) ? 0( f ''
( x) ? 0), x ? I . 定义 2 设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处有穿过曲线的切线。
且在切点近胖， 曲线在切线的两次分别是严格凸和严格凹的， 这时称点 ( x0 , f ( x)) 为曲线 y ? f ( x) 的拐点。
例 9：求函数 y ? 2x3 ? 3x 2 ? 36x ? 25 的凸性区间与拐点。
解：依题意可得 y ''
? 12x ? 6 ，令 y ''
? 0 12 解方程得：
x ? 当x? 1 ， 2 1 1 时， y ''
? 0 ，所以函数 y 在 (?? , ) 内为凹函数； 2 2 1 1 当 x ? 时， y ''
? 0 ，所以函数 y 在 ( ,?? ) 内为凸函数。
2 2 。
1 。1 （ ) 与 U ? ( ) 内 y ''
分别是严格凸和严格凹的， 且U ? 2 2 1 13 所以点 ( , ) 为函数 y ? f ( x) 的拐点 2 2 用导数对凹凸性和拐点进行判断只需求出对应函数的二阶导数根据定理即 可。不需要图象法的描点、画线、观察。
3.5 导数在函数中求参数的应用 在求参数问题上， 有不少参数应用传统的方法不容易解决，但是借助导数就 会发现这是一条有效途径， 其主要是应用导数求函数单调性、 极值、 最值的延伸。
它可以一步一步的剖析问题中的参数，消去或者代换，使得问题得到简化，让我 们清晰的看出本质。
3.5.1 求函数解析式 例 10：若函数 f ( x) 为三次函数，其图象与 y 轴的交点为 P 点，在 P 点的切 线方程为 24x ? y ? 12 ? 0 ，若函数在 x ? 2 处取得极值-16，求函数 f ( x) 的解析式。
分析：本题主要抓住“导数的几何意义”与“函数在 x ? 2 处取得极值-16” ， 可以根据曲线某点处切线方程的斜率即为该点的导数和导数与函数中极值的关 系分别列出方程， 解：设函数解析式为 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 且 a ? 0 ， ∴ f '
( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ∵P 为函数 f ( x) 与 y 轴的交点 ∴ f (0) ? d 即 P 点坐标为 (0, d ) 把 x ? 0 代入切线方程 24x ? y ? 12 ? 0 ，解得 y ? 12 ∴ d ? 12 ∵切线方程 24x ? y ? 12 ? 0 的斜率 k ? ?24 ，且 f '
(0) ? c ∴ c ? ?24 ∵函数在 x ? 2 处取得极值-16 f (2) ? 8a ? 4b ? 36 ? ?16 13 可得： f '
(2) ? 12a ? 4b ? 24 ? 0 解得：
a ? 1, b ? 3 ∴ f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 24x ? 12 3.5.2 求参数的取值范围 例 11：函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 ，若 函数 f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增，求 b 的取值范围。
分析：这道题如果应用传统的方法则需要联立 f ( x) 与切线方程列出方程组， 再经过单调性的定义去取点作差，而应用导数解决则可以减少未知数的出现，简 化计算。
解：依题意可得 f '
( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 则函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程是：
y ? f (1) ? f '
(1)(x ? 1) 即为：
y ? 1 ? a ? b ? c ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) 化简得：
(3 ? 2a ? b) x ? y ? (c ? a ? b ? 2) ? 0 因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程是：
3x ? y ? 1 ? 0 所以有 3 ? 2a ? b ? 3 与 c ? a ? b ? 3 ? 1 即有 2a ? b ? 0 的关系 所以可得 f '
( x) ? 3x 2 ? bx ? b 且函数 f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增， 所以在区间 ?? 2,1? 上 f '
( x) ? 0 恒成立， 即在区间 ?? 2,1? 上 3x 2 ? bx ? b ? 0 恒成立， 因为 f '
( x) ? 3x 2 ? bx ? b 图象的对称轴为 x ? b ， 6 即有只有下列几种情况 符合题意：
b ①当 x ? ? 1 时， f '
(1) ? 3 ? b ? b ? 0, 所以 b ? 6 ； 6 b ②当 x ? ? ?2 时， f '
(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ，此时 b 的取值范围为空集； 6 14 ③当 ? 2 ? b b 12b ? b 2 ? 1 时， f '
( ) ? ? 0 ，所以 0 ? b ? 6 。
6 6 12 综上所述可得 b 的取值范围为：
b ? 0 。
应用导数求函数参数问题时，要注意函数本身的定义域和问题参数的条件， 不同问题不同分析。
4 导数的产生和发展 导数的思想是最初由法国数学家费马为研究极值问题而引入的， 但与导数概 念直接向联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求他的切线。
这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中 建立起来的。对这两个问题进行分析和归纳，可以得到极限的形式，而导数则含 有极限的思想。随着人类认识的深入，导数从低阶到高阶、不全面到比较全面的 发展。
5 导数在其他方面的应用 因为函数最开始是为了描述现实生活中变化着的现象而产生的， 而导数在一 定程度上反映了函数的变化快慢。因而导数还可以应用于：物理学方面的运动问 题；农业生产过程中的植物生长问题；城市建设的规划面积问题；工业生产中利 润最大，原料最少，效率最高的搭配问题?? 6 总结 导数作为一种工具， 在解决数学问题内有广泛应用，而导数又是一种特殊的 函数，对加深函数的理解和直观认识有重要作用，所以在处理函数的单调性、图 象、凹凸性与拐点、极值与最值、参数等问题的应用尤为显著。而应用传统的定 义法和图象法解决这类函数问题，虽然比较突出本质，但是若问题中函数比较复 杂时，就会加大解题者的压力，而应用导数处理则有清晰的解题思路，具有解题 效率高的特点，所以其往往比传统法更具有优势。
目前导数的发展到了比较完善的体系，使得导数与许多知识都有着密切联 系， 可以在知识网络的交汇处设计问题。熟练掌握这方面的知识可以达到举一反 三的效果，对人生学习的道路上提供铺垫。 15 致谢 本文是在指导教师李萃萃的诲人不倦的指导和帮助下完成的。李老师一丝不苟的作 风、高尚的品格在潜移默化的影响着我，使我受益匪浅。在此像李老师表达崇高的敬意、衷 心的感谢和美好的祝愿。
非常感谢每一位教导过我的老师， 是他们教会了我专业基础知识， 才有能力完成这篇毕 业论文。
最后要感谢父母和亲人还有身边好友的支持和鼓励。 参考文献 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 华东师范大学数学系.数学分析[M].上册第三版.北京：高等教育出版社，2001. 周国球.运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学，2006,1:24-25. 徐智愚.用导数解初等数学题[J].数学通报，2000，10. 商俊宇.导数题型分析解析[J].数学教学研究，2004,4. 王淑茂，吴永清.例谈导数应用中的几个误区[J].数学教学研究，2006,1. 李汉云.导数的基本应用举例[J].高中数学教与学，2005,10. 同济大学数学教研室.高等数学[M].4 版.北京：高等教育出版社，1996. 田雄飞.关于导数应用的研究[J].山西教育学院学报，2000,3（3） ：32-33. 16
导数在函数中的应用 ?研究函数单调性 ?确定函数的极值 ?确定函数的最值 导数在研究函数中的应用(一) —研究函数单调性 (一)导数与函数的单调性的关系 y o 1 x f '(x)<0 f '(x)>...
df/dx=(2x-2/a) e^ax+(x^2-2/a x+1/a)ae^ax=(ax^2+1-2/a) e^ax(1)a=1:A=(0,1),df/dx=-1；切线：y=-x+1;(2)(1)当a≥2时，df/dx≥0,f(x)单调递增；（2）当0<a<2时，f(x)在（-...
可怜的，米人回答，组长么你。